N°43 Page 80
Complexes - Trigonométrie
$\textcolor{#caa7ff}{(w_n)}$ est la suite définie pour tout entier naturel $\textcolor{#caa7ff}{n \ge 1}$ par $\textcolor{#caa7ff}{w_n = (2\sqrt{3} - 2i)^n}$.
a) Déterminer un argument de $\textcolor{#caa7ff}{2\sqrt{3} - 2i}$.
b) Déterminer une forme exponentielle des trois premiers termes de cette suite.
a)
$$\textcolor{#caa7ff}{
\lvert 2\sqrt{3} - 2i \rvert =
\sqrt{
(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2
} =
\sqrt{
4 \times 3 + 4
} =
\sqrt{
16
} =
4
}$$
Alors :
$$\textcolor{#caa7ff}{
2\sqrt{3} - 2i \newline =
4(\cos \theta + i \sin \theta) \quad \text{avec } \theta = arg(2\sqrt{3} - 2i) \newline =
4\bigl(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - i\dfrac{1}{2}\bigr) \newline =
4\bigl(\cos \dfrac{-\pi}{6} + i \sin \dfrac{-\pi}{6}\bigr)
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{arg(2\sqrt{3} - 2i) = \theta = \dfrac{-\pi}{6}}
}$$
b) On peut donc réécrire $\textcolor{#caa7ff}{w_n}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
w_n = (4e^{i \theta})^n = 4^ne^{n i \frac{-\pi}{6}}
}$$
On a alors :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
w_1 = 4e^{i \frac{-\pi}{6}} \newline
w_2 = 16e^{i \frac{-\pi}{3}} \newline
w_3 = 64e^{i \frac{-\pi}{2}}
}
}$$